Question

已知函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
（I）判断函数y=f（x）的单调性；
（II）若f（1）=，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，∞）上的最小值为-2，求实数m的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）当a＞1时，y=a^x在R上单调递增，y=在R上单调递减，
y=-a^x在R上单调递增，又因为两个增函数相加所得的函数为增函数，
所以f（x）=a^x-a^-x在R上单调递增；
同理可得，当0＜a＜1时，原函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）在R上单调递减．
（Ⅱ）∵f（1）=∴即2a²-3a-2=0，
∴a=2或a=（舍去）
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2
令t=f（x）=2^x-2^-x
∵x≥1，∴t∴g（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²
g（t）是关于t的二次函数的一部分，开口向上，对称轴为x=m结合图象可知：
当m时，，∴m=2或m=-2（舍去）
当m时，，∴m=（舍去）
综上可知m=2．
分析：（Ⅰ）分a＞1和0＜a＜1两种情况利用两个增函数相加为增函数的特点可得结论；
（Ⅱ）利用换元法和分类讨论的思想表示出函数的最值让其等于-2可解m的值，注意取舍．
点评：本题为函数的综合应用，用好分类讨论思想和换元法是解决问题的关键，属难题．