精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数f(x)=cos(2x-
π
3
)+sin(2x-
π
6
)+2cos2x

(1)求f(x)的对称轴方程及单调递增区间;
(2)当x∈[-
π
4
π
3
]时,求函数f(x)的值域.
分析:(1)利用两角和与差的三角函数公式将f(x)=cos(2x-
π
3
)+sin(2x-
π
6
)+2cos2x化简为:f(x)=2sin(2x+
π
6
)+1,利用正弦函数的性质可求f(x)的对称轴方程及单调递增区间;
(2)由x∈[-
π
4
π
3
],可求得2x+
π
6
的范围,利用弦函数的性质可求得函数的值域.
解答:解:(1)∵f(x)=cos(2x-
π
3
)+sin(2x-
π
6
)+2cos2x
=cos2xcos
π
3
+sin2xsin
π
3
+sin2xcos
π
6
-cos2xsin
π
6
+cos2x+1
=sin2x+cos2x+1
=2sin(2x+
π
6
)+1,…4分
由2x+
π
6
=kπ+
π
2
(k∈Z)得:
x=
2
+
π
6
k∈Z…5分
由2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
(k∈Z)得:
kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
(k∈Z)…6分
∴f(x)的对称轴方程x=
2
+
π
6
k∈Z,
单调递增区间为[kπ-
π
3
,kπ+
π
6
](k∈Z)…8分
(2)∵x∈[-
π
4
π
3
],
∴2x+
π
6
∈[-
π
3
6
],…9分
则2x+
π
6
=-
π
3
即x=-
π
4
时,f(x)min=1-
3
…10分
当2x+
π
6
=
π
2
即x=
π
6
时,f(x)max=3…11分,
故函数f(x)在x∈[-
π
4
π
3
]上的值域为:[1-
3
,3]…12分
点评:本题考查两角和与差的正弦与余弦,考查三角变换与辅助角公式的应用,突出考查正弦函数的对称轴与单调性,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
3
2
sin2x-
1
2
(cos2x-sin2x)-1

(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期;
(2)设△ABC的内角A、B、C、的对边分别为a、b、c,且c=
3
,f(C)=0,若向量
m
=(1, sinA)
与向量
n
=(2,sinB)
共线,求a,b.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•松江区二模)已知函数f(x)=
1,x>0
0,x=0
-1,x<0
,设F(x)=x2•f(x),则F(x)是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
(
1
2
)x-1,x≤0
ln(x+1),x>0
,若|f(x)|≥ax,则实数a的取值范围为(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
(c-1)2x,(x≥1)
(4-c)x+3,(x<1)
的单调递增区间为(-∞,+∞),则实数c的取值范围是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
x2-ax+5,x<1
1+
1
x
,x≥1
在定义域R上单调,则实数a的取值范围为(  )

查看答案和解析>>

同步练习册答案