Question

已知函数f(x)=cos(2x-

π

3

)+sin(2x-

π

6

)+2cos2x
（1）求f（x）的对称轴方程及单调递增区间；
（2）当x∈[-

π

4

，

π

3

]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用两角和与差的三角函数公式将f（x）=cos（2x-

π

3

）+sin（2x-

π

6

）+2cos²x化简为：f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，利用正弦函数的性质可求f（x）的对称轴方程及单调递增区间；
（2）由x∈[-

π

4

，

π

3

]，可求得2x+

π

6

的范围，利用弦函数的性质可求得函数的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=cos（2x-

π

3

）+sin（2x-

π

6

）+2cos²x
=cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

+sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

+cos2x+1
=sin2x+cos2x+1
=2sin（2x+

π

6

）+1，…4分
由2x+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z）得：
x=

kπ

2

+

π

6

k∈Z…5分
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：
kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）…6分
∴f（x）的对称轴方程x=

kπ

2

+

π

6

k∈Z，
单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）…8分
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，…9分
则2x+

π

6

=-

π

3

即x=-

π

4

时，f（x）_min=1-

3

…10分
当2x+

π

6

=

π

2

即x=

π

6

时，f（x）_max=3…11分，
故函数f（x）在x∈[-

π

4

，

π

3

]上的值域为：[1-

3

，3]…12分

点评：本题考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角变换与辅助角公式的应用，突出考查正弦函数的对称轴与单调性，属于中档题．