Question

（文）对于函数f（x）=lg（x²+ax-a-1），给出下列命题：
①当a=0时，f（x）的值域为R；        ②当a＞0时，f（x）在[2，+∞）上有反函数；
③当0＜a＜1时，f（x）有最小值；     ④若f（x）在[2，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是[-4，+∞）．
上述命题中正确的是______．（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

函数f（x）=lg（x²+ax-a-1），
①当a=0时，f（x）=lg（x²-1），由于真数x²-1可以取全体正数，故函数的值域是R，此命题正确；
②当a＞0时，内层函数的对称轴是x=-

a

2

＜0，又当x=2时2²+a×2-a-1=a+3＞0，由复合函数的单调性知，此时函数f（x）在[2，+∞）上是单调增函数，故有反函数，此命题正确；
③当0＜a＜1时，内层函数的最小值为

-(a+2 2)

4

＜0，故函数的值域为R，所以函数f（x）没有最小值，③命题错误；
④若f（x）在[2，+∞）上是增函数，则有

4+2a-a-1＞0 - a 2 ≤2

，解得a＞-3则实数a的取值范围是（-3，+∞）．故④命题错误．
综上，①②两个命题是正确的
故答案为①②