Question

已知点P在圆x²＋y²＝1上运动，过点P作x轴的垂线，垂足为D，点M在DP的延长线上，且有|DP|＝|MP|.(1)求M点的轨迹方程C；(2)已知直线l过点(0，)，且斜率为1，求l与C相交所得的弦长．

Answer 1

(1) x² ＋＝1 (2)

此题考查了直线与圆相交的性质，以及动点的轨迹方程，涉及的知识有：直线与圆的交点，一元二次方程根与系数的关系，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，基本不等式的运用，以及直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径的性质，利用了转化及分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题．
（1）设出M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x₀，y₀），由题意DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DP|＝|MP|，找出x₀与x的关系及y₀与y的关系，记作①，根据P在圆上，将P的坐标代入圆的方程，记作②，将①代入②，即可得到点M的轨迹方程；
（2）直线与圆联立求解方程组，结合根与系数的关系得到弦长公式。
解：(1)设P(x₀,y₀)，M(x,y)，由题意知，   ……3分
又点P在圆x²＋y²＝1，可得M点的轨迹方程为x² ＋＝1． ……6分
(2)由(1)知联立上式得4x²＋(x＋)²＝4,5x²＋2x－1＝0,可知必有D>0…8分
设l与C的交点为A(x₁，y₁), B(x₂，y₂)，则有x₁＋x₂ ＝－,  x₁x₂ ＝－．…10分
\|AB|＝|x₁－x₂|＝
＝＝＝． ……12分