Question

已知函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）、f（x-1）都是奇函数，则（　　）

• A、f（x）是奇函数
• B、f（x）是偶函数
• C、f（x+5）是偶函数
• D、f（x+7）是奇函数

Answer 1

考点：函数的周期性,函数奇偶性的判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：运用奇函数的定义，将x换成-x，得到f（x+2）=f（x-2），再把x换成x+2，可得f（x）是以4为周期的周期函数，8也是函数f（x）的周期，即可判断D正确．

解答： 解：由f（x+1）、f（x-1）都是奇函数得
f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）=-f（x-1），
从而有f（x）=-f（2-x），f（x）=-f（-x-2），
故有f（2-x）=f（-x-2）⇒f（x+2）=f（x-2）⇒f（x+4）=f（x），
即f（x）是以4为周期的周期函数，
因f（x-1）为奇函数，8也是函数f（x）的周期，
所以f（x+7）也是奇函数．
故选D．

点评：本题考查函数的奇偶性和周期性的判断，考查运算能力，属于中档题和易错题．