Question

7．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（{3-a}）x-a，x＜1\\{log_a}x，x≥1\end{array}$满足对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． $（{\frac{3}{2}，+∞}）$
• C． $[{\frac{3}{2}，3}）$
• D． （1，3）

Answer 1

分析 由已知可得f（x）为增函数，则$\left\{\begin{array}{l}3-a＞0\\ a＞1\\ 3-a-a≤0\end{array}\right.$，解得实数a的取值范围，

解答 解：∵对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（{3-a}）x-a，x＜1\\{log_a}x，x≥1\end{array}$为增函数，
则$\left\{\begin{array}{l}3-a＞0\\ a＞1\\ 3-a-a≤0\end{array}\right.$，
解得a∈$[\frac{3}{2}，3）$，
故选：C．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性是解答的关键．