Question

8．设函数$f（x）=|x+\frac{1}{a}|+|x-a|（a＞0）$．
（1）求证：f（x）≥2；
（2）若f（2）＜4，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值三角不等式求得f（x）≥|a|+|$\frac{1}{a}$|，再利用基本不等式证得|a|+|$\frac{1}{a}$|≥2，从而证得结论．
（2）f（2）＜3，即|2+$\frac{1}{a}$|+|2-a|＜3，再分类讨论求得a的范围，综合可得结论．

解答 （1）证明：由a＞0，
得|x+$\frac{1}{a}$|+|x-a|≥|（x+$\frac{1}{a}$）-（x-a）|=|$\frac{1}{a}$+a|=$\frac{1}{a}$+a≥2，
即f（x）≥2．
（2）解：由f（2）＜4，得|2+$\frac{1}{a}$|+|2-a|＜4，
①当0＜a＜2时，|2+$\frac{1}{a}$|+|2-a|＜4，
故2+$\frac{1}{a}$+2-a＜4，
解得：1＜a＜2，
②当a≥2时，|2+$\frac{1}{a}$|+||2-a|＜4，
故2+$\frac{1}{a}$+2-a＜4，
解得：2≤a＜2+$\sqrt{3}$，
综上得：1＜a＜2+$\sqrt{3}$，
即实数a的取值范围是（1，2+$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．