Question

3．在△ABC中，G为重心，O为任意一点，$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$[（1-λ）$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$+（1+2λ）$\overrightarrow{OC}$]，求点P在怎样的直线上？

Answer 1

分析 取AB的中点D，得出$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OD}$，化简$\overrightarrow{OP}$，根据平面向量的共线定理，得出P在边AB的中线所在的直线上．

解答 解：取AB的中点D，则$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OD}$；
∵$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$[（1-λ）$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$+（1+2λ）$\overrightarrow{OC}$]
=$\frac{1}{3}$（1-λ）（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）+$\frac{1}{3}$（1+2λ）$\overrightarrow{OC}$
=$\frac{2}{3}$（1-λ）$\overrightarrow{OD}$+$\frac{1}{3}$（1+2λ）$\overrightarrow{OC}$，
且$\frac{2}{3}$（1-λ）+$\frac{1}{3}$（1+2λ）=1，
∴P、C、D三点共线；
∴点P在边AB上的中线所在的直线上．

点评 本题考查了平面向量的加法运算以及三点共线的应用问题，也考查了数形结合与转化思想，是基础题．