Question

【题目】如图，在三棱柱 中， 底面 ，且 为等边三角形， ， 为 的中点.

（1）求证：直线 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图所示，

连接B1C交BC1于O，连接OD，因为四边形BCC1B1是平行四边形，所以点O为B1C的中点，
又因为D为AC的中点，所以OD为△AB1C的中位线，所以OD∥B1A，
又OD平面C1BD，AB1平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD
（2）解 : 因为△ABC是等边三角形，D为AC的中点，所以BD⊥AC，
又因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BD，
根据线面垂直的判定定理得BD⊥平面A1ACC1 ， △ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3 ，
∴S△BCD= ×3×3 = ，∴ = = 6=9
【解析】(1)根据题意作出辅助线结合平行四边形以及中位线的性质可得OD∥B1A，由线面平行的判定定理即可得证。(2) 根据已知条件得出线线垂直进而得出线面垂直即为点到模的距离也就是高的值，把已知数值代入到三棱锥的条件公式求出结果即可。