Question

一次研究性课堂上，老师给出了函数f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：
①函数f（x）的值域为（-1，1）；
②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）
③若规定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），则fn(x)=

x

1+n|x|

对任意n∈N*恒成立．
你认为上述三个命题中正确的个数是（　　）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

Answer 1

分析：由已知中函数的解析式，我们可以判断出函数f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)为奇函数，进而分类讨论后求出函数f（x）的值域，进而可以判断出①的真假；判断出函数的单调性，根据函数单调性的性质，可以判断②的真假；利用数学归纳法证明fn(x)=

x

1+n|x|

对任意n∈N*是否恒成立，可以判断③的真假，进而得到答案．

解答：解：∵f（-x）-f（x）
∴f（x）为奇函数
∵f(x)=

x

1+|x|

=

x 1+x (x≥0) x 1-x (x＜0)

x≥0时，f(x)=

x

1+x

=1-

1

1+x

∈[0，1)
∵f（x）为奇函数，
∴当x＜0是，f（x）∈（-1，0）
总之，f（x）∈（-1，1）
故甲对
当x≥0时，f(x)=

x

1+x

=1-

1

1+x

∈[0，1)为增函数，
∵f（x）为奇函数
∴当x＜0是，f（x）∈（-1，0）为增函数
所以f（x）在（-1，1）上为增函数
故当x₁≠x₂时，则一定有f（x₁）≠f（x₂）
故乙对
若规定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），
则当n=1时，f1(x)=

x

1+|x|

，满足fn(x)=

x

1+n|x|

设n=k时，满足fk(x)=

x

1+k|x|

当n=k+1时，f_K+1（x）=f（f_K（x））=

x 1+k|x|

1+| x 1+k|x| |

=

x

1+(k+1)|x|

即fn(x)=

x

1+n|x|

对任意n∈N*恒成立
故丙对
故选D

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，函数恒成立问题，数学归纳法，函数奇偶性，函数的单调性，函数的值域，是函数问题比较综合的应用，其中判断出函数的奇偶性，进而简化判断是解答本题的关键．