Question

20．四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有面均是边长为1的菱形，∠DAB=∠A₁AB=∠A₁AD=60°，则对角线AC₁的长为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． $\sqrt{6}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由已知得∴${\overrightarrow{A{C}_{1}}}^{2}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{C{C}_{1}}$）²，由此能求出对角线AC₁的长．

解答 解：∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁各棱长均为1，∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=60°，
∴${\overrightarrow{A{C}_{1}}}^{2}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{C{C}_{1}}$）²
=$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{BC}$²+$\overrightarrow{C{C}_{1}}$²+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{C{C}_{1}}$+2$\overrightarrow{C{C}_{1}}$•$\overrightarrow{BC}$
=1+1+1+2×1×1×cos120°+2×1×1×cos60°+2×1×1×cos60°
=4，
∴对角线AC₁的长为2，
故选A．

点评 本题考查两点间距离的求法，考查向量法的合理运用，正确运用向量法是关键．