Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）是某简谐运动的函数解析式，如图为该函数在一个周期内的图象，A为图象的最高点，坐标为A（

2

3

，2

3

）、B、C为图象与x轴的交点，且为正三角形．
（1）求该简谐运动的函数解析式；
（2）若f（x₀）=

8 3

5

，且x₀∈（-

10

3

，

2

3

），求f（x₀+2）的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用正弦型函数的函数图象确定函数的解析式．
（2）利用三角函数的诱导关系变换直接求出函数的值．

解答： 解：（1）根据函数的图象A为图象的最高点，坐标为A（

2

3

，2

3

）、
则：A=2

3

由于B、C为图象与x轴的交点，且为正三角形．
根据A=2

3

，△ABC为正三角形
解得：BC=4，
则：函数图象的周期T=

2π

ω

=8
解得：ω=

π

4

当x=

2

3

时，f(

2

3

)=2

3

（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）
则：φ=

π

3

所以：f（x）=2

3

sin(

π

4

x+

π

3

)
（2）由（1）得：f（x）=2

3

sin(

π

4

x+

π

3

)
已知：x0∈(-

10

3

，

2

3

)
则：-

π

2

＜

πx0

4

+

π

3

＜

π

2

解得：sin(

π

4

x0+

π

3

)=

4

5

所以：cos(

π

4

x0+

π

3

)=

3

5

则：f(x0+2)=2

3

sin(

π

4

x0+

π

2

+

π

3

)=-2

3

cos(

π

4

x0+

π

3

)=-

6 3

5

所以函数值为：f（x₀+2）=-

6 3

5

点评：本题考查的知识要点：利用正弦型函数的图象确定函数的解析式，主要确定A，ω，φ的值，利用诱导公式进行函数的求值．属于基础题型．