Question

以下命题正确的个数为（ ）
①若a²+b²=8，则ab的最大值为4；
②若a＞0，b＞0，且a+b=4，则的最小值为1；
③若x∈R，则x+的最小值为6；
④若x＞0，y＞0，且4x+y=1，则xy的最大值为．
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：根据ab≤推断①正确；
利用 +=展开后根据均值不等式求得 +的最小值判断出②正确；
根据x∈R，不能保证x-2为正数，判断③不正确；
对于④变形为4x与y的乘积，利用 基本不等式求最大值，推断④不正确．
解答：解：由①知，a²+b²=8，
∴ab≤=4成立（当且仅当a=b=2或a=b=-2时，取等号），故①正确．
由②知，a+b=4，∴+=1．
∴+==+++
≥+2 =+=1（当且仅当a=b=2时取等号），故③正确．
由③x∈R，不能保证x-2为正数，此函数没有最小值，判断③不正确；
④：，当且仅当4x=y=时取等号．
则xy的最大值为：．故④不正确．
故正确的有①②．
故选B．
点评：本题主要考查了基本不等式在求最值问题的应用．要特别留意基本不等式中等号成立的条件．