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(本小题满分14分)

已知集合,若集合,且对任意的,存在,使得(其中),则称集合为集合的一个元基底.

(Ⅰ)分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底,并说明理由;

    ①

.

(Ⅱ)若集合是集合的一个元基底,证明:

(Ⅲ)若集合为集合的一个元基底,求出的最小可能值,并写出当取最小值时的一个基底.


 

【答案】

解:(Ⅰ)①不是的一个二元基底.

理由是

    ②的一个二元基底.

理由是

       .

                                        ………………………………………3分

(Ⅱ)不妨设,则

形如的正整数共有个;

形如的正整数共有个;

形如的正整数至多有个;

形如的正整数至多有个.

又集合个不同的正整数,为集合的一个元基底.

,即. ………………………………………8分

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,所以.

时,,即用基底中元素表示出的数最多重复一个. *

假设的一个4元基底,

不妨设,则.

时,有,这时.

如果,则由,与结论*矛盾.

如果,则.易知都不是的4元基底,矛盾.

时,有,这时,易知不是的4元基底,矛盾.

时,有,这时,易知不是的4元基底,矛盾.

时,有,易知不是的4元基底,矛盾.

时,有,易知不是的4元基底,矛盾.

时,有,易知不是的4元基底,矛盾.

时,有,易知不是的4元基底,矛盾.

时,均不可能是的4元基底.

时,的一个基底;或{3,7,8,9,10};或{4,7,8,9,10}等,只要写出一个即可.

综上,的最小可能值为5.               ………………………………………14分

 

【解析】略

 

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