Question

如图①，正三角形ABC边长2，CD为AB边上的高，E、F分别为AC、BC中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如图②
（1）判断翻折后直线AB与面DEF的位置关系，并说明理由
（2）求二面角B-AC-D的余弦值
（3）求点C到面DEF的距离

Answer 1

分析：（1）由已知中E、F分别为AC、BC中点，由三角形中位线定理可得EF∥AB，由线面平行的判定定理可得AB∥平面DEF
（2）过D作DH垂直AC于H，连接HB，根据二面角的平面角可得∠BDH是B-AC-D的二面角的平面角，解三角形BDH，即可得到二面角B-AC-D的余弦值
（3）过点E作FK垂直CD于K，可证得FK是三棱锥C-DEF的高，由此我们计算出三棱锥C-DEF的体积，和S_△DEF利用等体积法，即可得到点C到面DEF的距离．

解答：解：（1）在三角形ABC中，EF是中位线，所以EF∥AB
  EF属于平面DEF里，且直线AB不属于平面DEF，
∴AB∥平面DEF
（2）过D作DH垂直AC于H，连接HB
BD垂直于AD，BD垂直于CD，
又因为AD和CD相交于点D，
∴所以BD垂直于平面ACD
AC属于平面ACD，所以BD垂直于AC
又因为DH垂直于AC
所以∠BDH是B-AC-D的二面角
在三角形BDH里，∠BDH是直角（因为BD垂直于平面ACD，所以BD垂直于DH）
BD=1
DH=AD•sin60°=

3

2

tan∠BHD=

BD

DH

=

2 3

3

cos∠BHD=

21

7

（3）求三棱锥C-DEF的体积
过点E作FK垂直CD于K，
在三角形BCD中，FK是中位线，FK∥BD，且FK=

1

2

BD=

1

2

又BD垂直于平面ACD，可知FK垂直于平面ACD
即FK垂直于平面ECD
所以FK是三棱锥C-DEF的高
S_△CED=

3

4

V_C-DEF=

3

24

又∵S_△DEF=

7

8

∴点C到面DEF的距离为

21

7

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，点到平面的距离，其中（1）的关键是证得EF∥AB，（2）的关键是证得∠BDH是B-AC-D的二面角的平面角，（3）的关键是利用等体积法进行解答．