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    已知：函数，有唯一的根．
    （1）求a，b的值；
    （2）数列{an}对n≥2，n∈N总有an=f（an-1），a1=1；求出数列{an}的通项公式．
    （3）是否存在这样的数列{bn}满足：{bn}为{an}的子数列（即{bn}中的每一项都是{an}的项）且{bn}为无穷等比数列，它的各项和为．若存在，找出所有符合条件的数列{bn}，写出它的通项公式，并说明理由；若不存在，也需说明理由．
    【答案】分析：（1）由
    解法一：f（x）=x 有唯一根，所以，则可得△=（b-1）2=0，从而可求a，b
    解法二：=x 即x（-1）=0，由方程有唯一的根可得-1=0的根也是x=0，从而可求a，b
    （2）由，从而可得{ }为等差数列，可求
    （3）结合（2）可设{bn} 的首项为，公比为q （ ）由无穷等比数列的各项和为：，可得；当m=3 时，，；
    当 若当m=1，m=2 时，显然不符合条件．，m＞4，则由可得 与 矛盾从而可求．
    解答：解：（1） （1分）
    解法一：f（x）=x 有唯一根，所以，（1分）
    ∴△=（b-1）2=0，（1分）
    b=1 a=1 （1分）
    有 b=1 a=1 得：方程的根为：x=0（1分）
    经检验x=0是原方程的根（1分）
    解法二：=x
    x（-1）=0（1分）
    x1=0，因为方程有唯一的根（1分）
    即：-1=0的根也是x=0，（1分）
    得b=1 a=1 （1分）
    经检验x=0是原方程的根（1分）
    （2） （2分）
    ∴{ }为等差数列 （1分）
    ∴ （2分）
    所以 （1分）
    （3）设{bn} 的首项为，公比为q （ ）（1分）
    所以这个无穷等比数列的各项和为：，（1分）
    ；当m=3 时，，；
    当 （2分）
    若当m=1，m=2 时，显然不符合条件．
    m＞4，则∴ 与 矛盾．
    ∴只有两个符合条件的数列．（2分）
    点评：本题主要考查了函数与数列的综合知识的应用，解题的关键熟练掌握函数与数列的性质并能灵活应用．
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    1. A.
      函数f（x）在（1，2）或[2，3）内有零点
    2. B.
      函数f（x）在（3，5）内无零点
    3. C.
      函数f（x）在（2，5）内有零点
    4. D.
      函数f（x）在（2，4）内不一定有零点

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    科目：高中数学 来源：2008-2009学年上海市六校高三（上）第一次联考数学试卷（文科）（解析版） 题型：解答题

    已知：函数，有唯一的根．
    （1）求a，b的值；
    （2）数列{an}对n≥2，n∈N总有an=f（an-1），a1=1；求出数列{an}的通项公式．
    （3）是否存在这样的数列{bn}满足：{bn}为{an}的子数列（即{bn}中的每一项都是{an}的项）且{bn}为无穷等比数列，它的各项和为．若存在，找出所有符合条件的数列{bn}，写出它的通项公式，并说明理由；若不存在，也需说明理由．

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    科目：高中数学 来源：2008年上海市奉贤区高考数学一模试卷（文科）（解析版） 题型：解答题

    已知：函数，有唯一的根．
    （1）求a，b的值；
    （2）数列{an}对n≥2，n∈N总有an=f（an-1），a1=1；求证为等差数列，并求出{an}的通项公式．
    （3）是否存在这样的数列{bn}满足：{bn}为{an}的子数列（即{bn}中的每一项都是{an}的项）且{bn}为无穷等比数列，它的各项和为．若存在，找出一个符合条件的数列{bn}，写出它的通项公式；若不存在，说明理由．

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