Question

一个扇形的周长为20，若使其面积最大，则它的圆心角应取

2rad

．

Answer 1

分析：设扇形的半径为r，弧长为l，根据扇形周长为20，结合扇形面积公式化简得：S=r（10-r），利用基本不等式可得面积最大时弧长等于半径的2倍，从而得到扇形的圆心角．

解答：解：设扇形的半径为r，弧长为l
∴

l+2r=20 S= 1 2 lr

，可得S=r（10-r），其中0＜r＜10
∵r（10-r）≤[

r+(10-r)

2

]2=25，当且仅当r=10-r，即r=5时等号成立
∴当r=5时，面积S有最大值25
此时，弧长为l=20-2r=10，所以扇形的圆心角θ=

l

r

=2rad
故答案为：2rad

点评：本题给出扇形的周长，求扇形面积取最大值时扇形圆心角的大小，着重考查了扇形面积公式、弧长公式和基本不等式求函数最值等知识，属于基础题．