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【题目】已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an﹣2.
(1)求a1 , a2 , a3并由此猜想an的通项公式;
(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式.

【答案】
(1)解:∵Sn=2an﹣2,

当n=1时,a1=2a1﹣2,解得a1=2.

当n=2时,a1+a2=2a2﹣2,解得a2=4.

当n=3时,a1+a2+a3=2a3﹣2,解得a3=8.

猜想:an=2n


(2)解:当n=1时,显然猜想成立.

假设n=k时,猜想成立,即ak=2k

则当n=k+1时,Sk+1=2ak+1﹣2.

∴Sk+ak+1=2ak+1﹣2,

∴2ak﹣2+ak+1=2ak+1﹣2,

∴ak+1=2ak=22k=2k+1

∴当n=k+1时,猜想成立.

∴an=2n


【解析】(1)分别令n=1,2,3代入条件式解出a1 , a2 , a3 , 根据前三项的特点猜想通项公式;(2)先验证n=1时猜想成立,假设n=k时猜想成立,利用条件式推导ak+1 , 得出n=k+1时猜想成立.
【考点精析】关于本题考查的数列的定义和表示和数学归纳法的定义,需要了解数列中的每个数都叫这个数列的项.记作an,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项),在第二个位置的叫第2项,……,序号为n的项叫第n项(也叫通项)记作an数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法才能得出正确答案.

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