Question

9．已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2-x）+e^x-1+x²，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是x-y-3=0．

Answer 1

分析 将x用2-x代入f（x）=2f（2-x）+e^x-1+x²，建立f（x）与f（2-x）的方程组，解出f（x）的解析式，求出f′（x）、f（1）、f′（1），利用导数的几何意义和点斜式方程求出切线方程．

解答 解：由题意得，f（2-x）=2f（x）+e^1-x+（2-x）²，①
∴令x取2-x代入①得，f（x）=2f（2-x）+e^x-1+x²，②
联立①②解得：f（x）=$-\frac{1}{3}$（2e^1-x+e^x-1+3x²-8x+8 ），
∴f′（x）=$-\frac{1}{3}$（-2e^1-x+e^x-1+6x-8）
则f（1）=-2，f′（1）=1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是x-y-3=0，
故答案为：x-y-3=0．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，函数解析式的求解，考查运算求解能力，转化思想，属于中档题．