已知在长方体中,点
为棱
上任意一点,
,
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)若点为棱
的中点,点
为棱
的中点,求二面角
的余弦值.
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)二面角的余弦值为
.
解析试题分析:(Ⅰ)求证:平面平面
,证明两个平面垂直,只需证明一个平面过另一个平面的垂线即可,由长方体的性质,易证
平面
,从而可证平面
平面
;(Ⅱ)若点
为棱
的中点,点
为棱
的中点,求二面角
的余弦值,求二面角问题,可用传统方法,找二面角的平面角,但本题不易找,另一种方法,用向量法,本题因为是长方体,容易建立空间坐标系,以
为
轴,以
为
轴,以
为
轴建立空间直角坐标系,分别设出两个平面的法向量,利用向量的运算,求出向量,即可求出二面角
的余弦值.
试题解析:(Ⅰ)为正方形
2分
平面
4分
又,
平面
平面
平面
6分
(Ⅱ)建立以为
轴,以
为
轴,以
为
轴的空间直角坐标系 7分
设平面的法向量为
,
9分
设平面的法向量为
,
11分
13分
二面角
的余弦值为
14分
考点:面面垂直,二面角.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E为BD的中点,G为PD的中点,△DAB≌△DCB,EA=EB=AB=1,PA=,连接CE并延长交AD于F.
(1)求证:AD⊥平面CFG;
(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,且PA⊥平面ABCD.
(1)求证:PC⊥BD;
(2)过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E,且三棱锥E-BCD的体积取到最大值.
①求此时四棱锥E-ABCD的高;
②求二面角A-DE-B的正弦值的大小.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=,点D为AC的中点,点E在线段AA1上.
(1)当AE∶EA1=1∶2时,求证DE⊥BC1;
(2)是否存在点E,使二面角D-BE-A等于60°,若存在求AE的长;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
斜三棱柱,其中向量
,三个向量之间的夹角均为
,点
分别在
上且
,
=4,如图
(Ⅰ)把向量用向量
表示出来,并求
;
(Ⅱ)把向量用
表示;
(Ⅲ)求与
所成角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图:在空间四边形ABCD中,AB,BC,BD两两垂直,且AB=BC=2,E是AC的中点,异面直线AD和BE所成的角为,求BD的长度.(15分)
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