Question

已知动圆P与两圆（x+2）²+y²=2，（x-2）²+y²=2中的一个内切，另一个外切．
（1）求动圆圆心P的轨迹E的方程；
（2）过（2，0）作直线l交曲线E于A、B两点，使得|AB|=2

2

，求直线l的方程；
（3）若从动点P向圆C：x²+（y-4）²=1作两条切线，切点为A、B，设|PC|=t，试用t表示

PA

•

PB

，并求

PA

•

PB

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据动圆P与两圆（x+2）²+y²=2，（x-2）²+y²=2中的一个内切，另一个外切，可得点P的轨迹是以M（-2，0），N（2，0）为焦点，实轴长为2

2

的双曲线，由此可得动圆圆心P的轨迹E的方程；
（2）分类讨论，设出直线方程代入双曲线方程，结合|AB|=2

2

，可求直线l的方程；
（3）利用向量的数量积公式，表示出

PA

•

PB

，利用函数的单调性，即可求

PA

•

PB

的取值范围．

解答：解：（1）设两圆的圆心分别为M，N，则
∵动圆P与两圆（x+2）²+y²=2，（x-2）²+y²=2中的一个内切，另一个外切
∴||PM|-|PN||=2

2

，∴点P的轨迹是以M（-2，0），N（2，0）为焦点，实轴长为2

2

的双曲线．
即a=

2

，c=2，∴b=

2

∴所求的W的方程为x²-y²=2；
（2）若k不存在，即x=2时，可得A（2，

2

），B（2，-

2

），|AB|=2

2

满足题意；
若k存在，可设l：y=k（x-2），代入双曲线方程，可得（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0
由

1-k2≠0 △＞0

，可得k≠±1
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AB|=

8k2+8

|1-k2|

•

1+k2

=2

2

，∴k=0即l：y=0
∴直线l的方程为x=2或y=0；
（3）

PA

•

PB

=|

PA

||

PB

|cos∠APB=（t2-1）（1-2sin2APC）=（t2-1）[1-2（

1

t

）²]=

(t2-1)(t2-2)

t2

又t²=x²+（y-4）²=y²+2+（y-4）²=2y²-8y+18=2（y-2）²+10≥10
∴

PA

•

PB

=

(t2-1)(t2-2)

t2

=t2+

2

t2

-3
∵f（t）=t2+

2

t2

-3在[

10

，+∞）是增函数，
∴f（t）≥10+

2

10

-3=7

1

5

∴

PA

•

PB

的取值范围是[7

1

5

，+∞）．

点评：本题考查双曲线方程和直线方程的求法，考查向量知识的运用，灵活运用圆锥曲线的性质和向量数量积计算公式是解题的关键．