Question

（2003•崇文区一模）如图，AB为⊙O的直径，MB⊥⊙O所在的平面于点B，C为⊙O上一点，且MB=4，AC=BC=2．
（Ⅰ）证明：平面MAC⊥平面MBC；
（Ⅱ）求MA与BC所成角的大小；
（Ⅲ）设P为MA的中点，求点M到平面PBC的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理去证明：平面MAC⊥平面MBC；
（Ⅱ）利用异面直线所成角的定义，求MA与BC所成角的大小；
（Ⅲ）利用体积法求点到平面的距离．

解答：解：（I）证明：∵MB⊥⊙O所在的平面，AC?⊙O所在平面，
∴MB⊥AC．
∵AB为⊙O的直径，∴AC⊥BC．
又MB∩BC=B，∴AC⊥平面MBC．
∵AC?平面MAC，
∴平面 M AC⊥平面MBC．…（4分）
（II）解：过A作AD∥BC交⊙O于D，连结MD，
则∠MAD就是MA与BC所成的角．…（5分）
∵MB⊥⊙O所在平面，又BD⊥AD，
由三垂线定理，得MD⊥AD．
∵ACBD是正方形，∴AD=BC=2．
又MA=

MB2+AB2

=

42+22+22

=2

6

．
在Rt△MDA中，cos∠MAD=

AD

MA

=

2

2 6

=

6

6

，
∴∠MAD=arccos

6

6

．
即MA与BC所成的角的大小为arccos

6

6

．…（10分）
（III）解：作PE⊥MC于E，∵平面MAC⊥平面 M BC，
∴PE⊥平面MBC．
∵MB⊥平面ABC，BC⊥AC，∴MC⊥AC，
∴PE∥AC，∵P为MA的中点，∴PE=

1

2

AC=1．
∴S△MBC=

1

2

×2×4=4．
∴VM-PBC=VP-MBC=

1

3

×4×1=

4

3

．…（12分）
作PF⊥BC于F，则F为BC中点
∵PC=PB=

6

，
∴PF=

5

，S△PBC=

1

2

×2×

5

=

5

．
设M到平面PBC的距离为h，则

1

3

×

5

×h=

4

3

，
∴h=

4 5

5

．
即点M到平面PBC的距离为

4 5

5

．…（14分）

点评：本题主要考查面面垂直的判断，以及异面直线所成角和空间点到平面的距离，考查学生的运算能力．