Question

已知数列{a_n}的首项a₁=5，前n项和为S_n，
且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N*）．
（Ⅰ）证明数列{a_n+1}是等比数列；
（Ⅱ）令f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求函数f（x）在点x=1处的导数f'（1）．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知S_n+1=2S_n+n+5，∴n≥2时，S_n=2S_n-1+n+4，
两式相减，得S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+1，
即a_n+1=2a_n+1，从而a_n+1+1=2（a_n+1）．
当n=1时，S₂=2S₁+1+5，∴a₁+a₂=2a₁+6又a₁=5，∴a₂=11，
从而a₂+1=2（a₁+1）．故总有a_n+1+1=2（a_n+1），n∈N*．
又∵a₁=5，，∴a_n+1≠0，从而．
即{a_n+1}是以a₁+1=6为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=3×2ⁿ-1．
∵f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ∴f'（x）=a₁+2a₂x+…+na_nx^n-1．
从而f'（1）=a₁+2a₂+…+na_n=（3×2-1）+2（3×2²-1）+…+n（3×2ⁿ-1）
=3（2+2×2²+…+n×2ⁿ）-（1+2+…+n）
=
=
=．
分析：（Ⅰ）先根据S_n+1=2S_n+n+5可得到S_n=2S_n-1+n+4，然后两式相减可得到S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+1，即a_n+1=2a_n+1然后两边同时加1即可得到a_n+1+1=2（a_n+1），即．从而得证．
（Ⅱ）先根据（Ⅰ）求出a_n的通项公式，再对函数f（x）进行求导，得到f'（x）的表达式，然后将a_n的表达式代入进行分组求和即可．
点评：本题主要考查等比数列的证明、求导运算和数列的分组求和．考查基础知识的综合运用和计算能力．