Question

11．已知点O（0，0），A（3，0），B（0，4），P是△OAB的内切圆上的一动点，设u=|PO|²+|PA|²+|PB|²，求u的最大值及相应的P点坐标．

Answer 1

分析 方法一：利用三角形的面积相等，求得圆心与半径，即可求得圆方程，设P（1+cosθ，1+sinθ），由正弦函数的性质即可求得u的最大值及相应的P点坐标．
方法二：由题意可得内切圆的方程为（x-1）²+（y-1）²=1，可得3x²+3y²-6x-6y+3=0，整体代入|PA|²+|PB|²+|PO|²=-2y+22，由函数的思想可得最值．

解答 解：方法一：设△OAB内切圆的圆心为（a，a）
∵0（0，0），A（3，0），B（0，4），
∴|OA|=3，|OB|=4，|AB|=5，
由等面积可得$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$（3+4+5）a，解得a=1
∴△OAB内切圆的圆心为（1，1），半径为1，
∴△OAB内切圆方程为（x-1）²+（y-1）²=1；
设P（1+cosθ，1+sinθ），
则u=（1+cosθ）²+（1+sinθ）²+（1+cosθ-3）²+（1+sinθ）²+（1+cosθ）²+（1+sinθ-4）²…（6分）
即u=20-2sinθ，θ∈R…（8分）
故当且仅当sinθ=-1时，u_max=22…（10分）
∴u_max=22，相应的点为P（1，0）…（12分）
方法二：设△OAB内切圆的圆心为（a，a）
∵0（0，0），A（3，0），B（0，4），
∴|OA|=3，|OB|=4，|AB|=5，
由等面积可得$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$（3+4+5）a，解得a=1
∴△OAB内切圆的圆心为（1，1），半径为1，
∴△OAB内切圆方程为（x-1）²+（y-1）²=1；
∵点P是△ABO内切圆上一点，设P（x，y）
则（x-1）²+（y-1）²=1，
∴x²+y²-2x-2y+1=0，
∴3x²+3y²-6x-6y+3=0，
∴u=|PA|²+|PB|²+|PO|²=（x-3）²+y²+x²+（y-4）²+x²+y²，
=3x²+3y²-6x-8y+25=3x²+3y²-6x-6y+3-2y+22=-2y+22
∴|PA|²+|PB|²+|PC|²=-2y+22，（0≤y≤2），
∴y=0时上式取最大值22，

点评 本题考查三角形内切圆的求法，圆的参数方程，两点之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．