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5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分为a,b,c,向量$\overrightarrow m$=(2b-c,a),$\overrightarrow n$=(cosC,cosA),且$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$.
(1)求角A的大小;
(2)若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=4,求边a的最小值.

分析 (1)由题意,利用向量平行的坐标表示,正弦定理可得关于cosA 的方程,从而可求cosA,进而可求A.
(2)由平面向量的数量积的运算可求bc=8,进而利用余弦定理可求a的最小值.

解答 (本小题满分12分)
解:(1)∵向量$\overrightarrow m$=(2b-c,a),$\overrightarrow n$=(cosC,cosA),且$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$,
∴可得:(2b-c)cosA-acosC=0,
由正弦定理得:(4sinB-2sinC)cosA-2sinAcosC=0,
即:2sinBcosA=sin(A+C)=sinB,
∵sinB≠0,
∴2cosA=1,
∴A=60°.…(6分)
(2)∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=4,可得:bccos60°=4,解得:bc=8,
又a2=b2+c2-2bccos60°≥2bc-bc=bc=8,
当且仅当b=c=2$\sqrt{2}$时,取等号,
∴amin=2$\sqrt{2}$.…(12分)

点评 本题主要考查了向量平行的坐标表示,正弦定理,平面向量的数量积的运算,余弦定理在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.

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