Question

5．二次函数y=ax²+ax+2（a＞0）在R上的最小值为f（a）
（1）写出f（a）的解析式
（2）证明：f（a）在[1，5]上递减．

Answer 1

分析 （1）求出该二次函数的最小值便可得出$f（a）=-\frac{1}{4}a+2$；
（2）根据减函数的定义，设任意的a₁，a₂∈[1，5]，且a₁＜a₂，然后作差，从而证明f（a₁）＞f（a₂），便可得出f（a）在[1，5]上递减．

解答 解：（1）根据题意：f（a）=$\frac{8a-{a}^{2}}{4a}=-\frac{1}{4}a+2$；
即f（a）=$-\frac{1}{4}a+2$；
（2）证明：设a₁，a₂∈[1，5]，且a₁＜a₂，则：
$f（{a}_{1}）-f（{a}_{2}）=\frac{1}{4}（{a}_{2}-{a}_{1}）$；
∵a₁＜a₂；
∴a₂-a₁＞0；
∴f（a₁）＞f（a₂）；
∴f（a）在[1，5]上递减．

点评 考查二次函数的最值公式，并清除二次项系数的符号与取得最大或最小值的关系，一次函数的单调性，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，作差比较法的应用．