Question

【题目】己知函数f（x）=|2|x|﹣1|． （Ⅰ）求不等式f（x）≤1的解集A；
（Ⅱ）当m，n∈A时，证明：|m+n|≤mn+1．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：f（x）≤1即|2|x|﹣1|≤1． ∴﹣1≤2|x|﹣1≤1，∴|x|≤1
解得：﹣1≤x≤1，所以A=[﹣1，1]
（Ⅱ）证明：要证：|m+n|≤mn+1，即证（m+n）2≤（mn+1）2
因为 （m+n）2﹣（mn+1）2=m2+n2﹣m2n2﹣1=（m2﹣1）（1﹣n2）
因为m，n∈A，所以m2≤1，n2≤1，所以（m2﹣1）（1﹣n2）≤0
所以（m+n）2≤（mn+1）2
所以，|m+n|≤mn+6
【解析】（Ⅰ）去掉绝对值，即可求不等式f（x）≤1的解集A；（Ⅱ）当m，n∈A时，利用分析法即可证明：|m+n|≤mn+1．
【考点精析】关于本题考查的不等式的证明，需要了解不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等才能得出正确答案．