Question

如图，在三棱台ABC-A₁B₁C₁中，CA，CB，CC₁两两垂直且长度相等，B₁C₁=

1

2

BC，D为BB₁中点，E为AB上一点，且BE=

1

4

BA，
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）设二面角B₁-AB-C的大小为θ，求tgθ；
（Ⅲ）若AC=2，求点C到平面ABB₁的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）过D作DF⊥BC于点F（或取BC的四等分点）先证明平面EFD∥平面ACC₁A₁，从而得ED∥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）由（Ⅰ）过F作FG⊥BA于G，连GD证明∠FGD=θ，在Rt△DFG中解得tgθ=2

2

．
（Ⅲ）由V_C-ABB1=V_A-CBB1  解得C到平面ABB₁的距离为

4

3

．

解答：解：（Ⅰ）过D作DF⊥BC于点F（或取BC的四等分点），所以FD∥C₁C，
所以C₁C∥平面ACC₁A₁．
又因为E为AB上一点，且BE=

1

4

BA，
所以EF∥AC，
所以EF平面ACC₁A₁．
所以平面EFD∥平面ACC₁A₁，
又因为ED?平面EFD，
所以ED∥平面ACC₁A₁（4分）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）过F作FG⊥BA于G，连GD，
由题意可得：FD⊥平面ABC，
所以AB⊥平面FDG，
所以GD⊥AB，
所以可得∠FGD=θ，
因为E为AB上一点，且BE=

1

4

BA，
所以点F为线段BC的四等分点，
所以FD=

2 AC

8

．
因为D为BB₁中点，所以DF=

1

2

C₁C=

1

2

AC．
所以在Rt△DFG中，解得tgθ=

FD

FG

=2

2

（4分）
（Ⅲ）由题意可得：V_A--CBB1=

1

3

×S△CB1B×C1C =

4

3

．
因为AC=2，所以AB=2

2

，B₁B=

5

，AB₁=3，
所以由正弦定理与余弦定理可得：S_△AB1B=3．
由V_C-ABB1=V_A--CBB1可得：C到平面ABB₁的距离为

4

3

．（4分）

点评：本题考查用线面平行的判定定理证明线面平行，以及求二面角的平面角，而空间角解决的关键是做角，由图形的结构及题设条件正确作出平面角来，是求角的关键，以及考查利用等体积法求点到平面的距离．