Question

已知△ABC三内角A、B、C所对边分别为a，b，c面积为S且满足2S=c²-（a-b）²和a+b=2．
（1）求sinC的值；
（2）求三角形面积S的最大值．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理关于面积的公式代入题中等式化简整理，可得a²+b²-c²=ab（2-sinC），再结合余弦定理代入得2-sinC=
2cosC，结合同角三角函数的平方关系即可解出sinC=

4

5

；
（2）由基本不等式，得ab≤（

a+b

2

）²=1，再用正弦定理关于面积的公式即可求出当且仅当a=b=1时，△ABC面积S的最大值为

2

5

．

解答：解：（1）根据题意，得
∵S=

1

2

absinC，且2S=c²-（a-b）²
∴c²-（a-b）²=absinC，化简得a²+b²-c²=ab（2-sinC）
∵根据余弦定理，得a²+b²-c²=2abcosC，
∴2-sinC=2cosC，与sin²C+cos²C=1消去cosC，
得

5

4

sin²C-sinC=0，
∵C是三角形内角，得sinC是正数
∴

5

4

sinC-1=0，解之得sinC=

4

5

；
（2）∵边a、b满足a+b=2
∴ab≤（

a+b

2

）²=1，得ab的最大值为1（当且仅当a=b=1时取等号）
因此，△ABC面积S=

1

2

absinC≤

1

2

sinC=

2

5

∴当且仅当a=b=1时，△ABC面积S的最大值为

2

5

点评：本题给出三角形ABC满足的边角关系，求sinA的值并求三角形面积的最大值，着重考查了利用正余弦定理解三角形、基本不等式求最值和同角三角函数的关系等知识，属于基础题．