Question

【题目】已知函数f（x）=kex﹣x3+2 （k∈R）恰有三个极值点xl，x2，x3，且xl＜x2＜x3．

（I）求k的取值范围：

（II）求f（x2）的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，整理得，令，根据函数的单调性进行求解；（Ⅱ）求出函数的导数，求出的解析式，根据函数的单调性求出的范围即可.

试题解析：（Ⅰ）f'（x）=kex﹣3x2．

由题知方程kex﹣3x2=0恰有三个实数根，

整理得．…

令，则，

由g'（x）＞0解得0＜x＜2，由g'（x）＜0解得x＞2或x＜0，

∴g（x）在（0，2）上单调递增，在（﹣∞，0），（2，+∞）上单调递减．…

于是当x=0时，g（x）取得极小值g（0）=0，

当x=2时，g（x）取得极大值． …

且当x→﹣∞时，g（x）→+∞；当x→+∞时，g（x）→0，

∴．…

（Ⅱ）由题意，f'（x）=kex﹣3x2=0的三个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，

∴0＜x2＜2，且，…

∴，…

令μ（x）=﹣x3+3x2+2（0＜x＜2），

则μ'（x）=﹣3x2+6x=﹣3x（x﹣2），

当0＜x＜2时，μ'（x）＞0，即μ（x）在（0，2）单调递增，…

∴f（x2）∈（2，6）． …