Question

已知数列满足,我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当时，得到无穷数列：当时,得到有穷数列：.
（Ⅰ）求当为何值时；
（Ⅱ）设数列满足, ，求证：取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列；
（Ⅲ）若，求的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）当为何值时
(Ⅱ)证明略
（Ⅲ）

（Ⅰ）
 
(Ⅱ) 解法一：,,
当时, ,
当时,,,
当时,,.
一般地, 当时,可得一个含有项的有穷数列.
下面用数学归纳法证明.
(1)当时, ,显然,可得一个含有2项的有穷数列
(2)假设当时,,得到一个含有项的有穷数列,其中
,则时,,,
由假设可知,得到一个含有项的有穷数列,其中.
所以,当时, 可以得到一个含有项的有穷数列,,其中
由(1),(2)知,对一切,命题都成立.
解法二：

故取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列.
（Ⅲ）即,
所以要使,当且仅当它的前一项满足.
由于,所以只须当时,都有
由,得, 解得.