Question

如图，直线l⊥平面α，垂足为O，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=5，AB=6，AD=8．该长方体做符合以下条件的自由运动：（1）A∈l；（2）C∈α，则C₁、O两点间的最大距离为    ．

Answer 1

【答案】分析：第一步：找出点A、C、O之间的关系，第二步：找出点C₁、P、O之间的关系，第三步：求值，根据直线C₁O的长度最长=直线C₁P的长度+直线PO的长度进行求解即可．
解答：解：第一步：找出点A、C、O之间的关系
按题意：直线AO垂直于直线CO，三角形AOC为直角三角形，O点在以AC为直径的球面上；
设球面中心点为P，则点P位于直线AC的中点；
第二步：找出点C₁、P、O之间的关系 此时答案变为求球外一点至球面上一点的距离；
按题意：存在直角三角形C₁CP，直线C₁P为斜边（点C₁至球心P的距离）；
此时：存在任意三角形C₁PO，其中直线C₁P为点C₁至球心P的距离、直线PO为球面半径，直线C₁O的长度是我们要的答案
至此，我们可以根据任意三角形一条边与另外两条边的关系可得：直线C₁O的长度最长=直线C₁P的长度+直线PO的长度
第三步：求值 已知：AB=6，AD=8 则：AC=10，CP==5 则：PO==5
（1）已知：AA₁=5，CC₁=5 则：C₁P=（CC₁²+CP²）^0.5=5
（2）C₁、O两点间的最大距离=5+5
故答案为：5+5
点评：本题主要考查了空间两点的距离的最值，解题关键是找出垂足O点规律，同时考查了空间想象能力，论证推理能力，属于中档题．