Question

【题目】已知等差数列{an}，等比数列{bn}满足：a1＝b1＝1，a2＝b2，2a3－b3＝1.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Sn.

Answer 1

【答案】(1) an＝bn＝1或an＝2n－1，bn＝3n－1.

(2) Sn＝n或Sn＝(n－1)×3n＋1.

【解析】

(1)先解方程组得到，即得数列{an}，{bn}的通项公式.(2)利用错位相减求数列{cn}的前n项和Sn.

(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，

由已知可得,

解得.

从而an＝bn＝1或an＝2n－1，bn＝3n－1.

(2)①当an＝bn＝1时，cn＝1，所以Sn＝n；

②当an＝2n－1，bn＝3n－1时，cn＝(2n－1)×3n－1，

Sn＝1＋3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)×3n－1，

3Sn＝3＋3×32＋5×33＋7×34＋…＋(2n－1)×3n，

从而有(1－3)Sn＝1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n－1)×3n

＝1＋2(3＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n

＝1＋2×－(2n－1)×3n

＝－2(n－1)×3n－2，

故Sn＝(n－1)×3n＋1.

综合①②，得Sn＝n或Sn＝(n－1)×3n＋1.