Question

已知：函数f(x)=

3

sin2ωx-2sin2ωx的最小正周期为3π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．

Answer 1

分析：（1）根据二倍角的三角函数公式和辅助角公式，化简得f（x）=2sin(2ωx+

π

6

)-1，再由函数的最小正周期为3π结合三角函数的周期公式，算出ω=

1

3

即可得到函数f（x）的解析式；
（2）根据（1）的表达式，解关于C的方程f（C）=1，结合C为三角形的内角算出C=

π

2

，因此将等式2sin²B=cosB+cos（A-C）化成关于A的方程，整理得sin²A+sinA-1=0，解之即得sinA的值．

解答：解：（1）根据题意，得
f(x)=

3

sin2ωx-2sin2ωx=

3

sin2ωx-1+cos2ωx=2sin(2ωx+

π

6

)-1…（3分）
∵函数f（x）的周期为3π，即

2π

2ω

=3π，
∴ω=

1

3

，…（5分）
因此，函数f（x）的解析式是f(x)=2sin(

2x

3

+

π

6

)-1…（6分）
（2）∵f(C)=2sin(

2C

3

+

π

6

)-1=1
∴sin(

2C

3

+

π

6

)=1，
∵C∈（0，π），可得

2C

3

+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，
∴

2C

3

+

π

6

=

π

2

，可得C=

π

2

．…（8分）
∵在Rt△ABC中，A+B=

π

2

，有2sin²B=cosB+cos（A-C）
∴2cos²A-sinA-sinA=0，即sin²A+sinA-1=0，解之得sinA=

-1± 5

2

…（11分）
∵0＜sinA＜1，∴sinA=

5 -1

2

．…（12分）

点评：本题给出函数y=Asin（ωx+φ）+k的周期，求函数的表达式并依此求三角形ABC的角A的正弦值．着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质和同角三角函数的基本关系等知识点，属于中档题．