【题目】如图,在几何体中,,均与底面垂直,且为直角梯形,,,,,分别为线段,的中点,为线段上任意一点.
(1)证明:平面.
(2)若,证明:平面平面.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】
(1)由题可得,进而可得平面,因为,,所以四边形为平行四边形,即,从而得出平面,平面平面,进而证得平面.
(2)由题可先证明四边形为正方形,连接,则,再证得平面,进而证得平面平面.
证明:(1)因为平面,平面,
所以.
因为平面,平面,
所以平面.
因为,,
所以四边形为平行四边形,
所以.
因为平面,平面,
所以平面.
因为,
所以平面平面,
因为平面,
所以平面.
(2)因为,所以为等腰直角三角形,
则.
因为为的中点,且四边形为平行四边形,
所以,
故四边形为正方形.
连接,则.
因为平面,平面,
所以.
因为,平面,平面,
所以平面.
因为分别,的中点,
所以,则平面.
因为平面,
所以平面平面.
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【题目】为了解学生的学习情况,某学校在一次考试中随机抽取了20名学生的成绩,分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组,绘制了如图所示频率分布直方图.求:
(Ⅰ)图中m的值;
(II)估计全年级本次考试的平均分;
(III)若从样本中随机抽取分数在[80,100]的学生两名,求所抽取两人至少有一人分数不低于90分的概率.
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【题目】已知符号函数sgnx= ,f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),则( )
A.sgn[g(x)]=sgnx
B.sgn[g(x)]=﹣sgnx
C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]
D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]
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【题目】已知命题:①函数的值域是;
②为了得到函数的图象,只需把函数图象上的所有点向右平移个单位长度;
③当或时,幂函数的图象都是一条直线;
④已知函数,若互不相等,且,则的取值范围是.
其中正确的命题个数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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【题目】已知函数f(x)=2x,x∈R.
(1)当m取何值时,方程|f(x)-2|=m有一个解?两个解?
(2)若不等式[f(x)]2+f(x)-m>0在R上恒成立,求m的取值范围.
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【题目】给出下列四个五个命题:
①“”是“”的充要条件
②对于命题,使得,则,均有;
③命题“若,则方程有实数根”的逆否命题为:“若方程
没有实数根,则”;
④函数只有个零点;
⑤使是幂函数,且在上单调递减.
其中是真命题的个数为:
A. B. C. D.
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【题目】某企业响应省政府号召,对现有设备进行改造,为了分析设备改造前后的效果,现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项质量指标值落在内的产品视为合格品,否则为不合格品.如图是设备改造前的样本的频率分布直方图,表是设备改造后的样本的频数分布表.
表:设备改造后样本的频数分布表
质量指标值 | ||||||
频数 |
(1)完成下面的列联表,并判断是否有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关;
设备改造前 | 设备改造后 | 合计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合计 |
(2)根据频率分布直方图和表 提供的数据,试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较;
(3)企业将不合格品全部销毁后,根据客户需求对合格品进行登记细分,质量指标值落在内的定为一等品,每件售价元;质量指标值落在或内的定为二等品,每件售价元;其它的合格品定为三等品,每件售价元.根据表的数据,用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品,设其支付的费用为(单位:元),求的分布列和数学期望.
附:
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【题目】给出下列四个结论:
①从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件“取到的2个数之和为偶数”,事件“取到的
2个数均为偶数”,则;
②某班共有45名学生,其中30名男同学,15名女同学,老师随机抽查了5名同学的作业,用表示抽查到的女生的人数,则;
③设随机变量服从正态分布,,则;
④由直线,,曲线及轴所围成的图形的面积是.
其中所有正确结论的序号为__________.
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【题目】已知椭圆的离心率为是椭圆上一点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点,是直线上任意一点.
证明:直线的斜率成等差数列.
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