Question

设函数f(x)是定义在［－1，0）∪（0，1］上的奇函数，当x∈［－1，0）时，f(x)=2ax+（a∈R).

（1）当x∈(0，1］时，求f(x)的解析式；

（2）若a＞－1，试判断f(x)在（0，1）上的单调性，并证明你的结论；

（3）是否存在a，使得当x∈（0，1）时，f(x)有最大值－6?

Answer 1

（1）解:设x∈(0，1)，则-x∈［-1，0］.

∵f(-x)=-2ax+，f(x)是奇函数.

∴f(x)=2ax-，x∈(0，1.

（2）证明：∵f′(x)=2a+=2(a+),

又a＞-1，x∈(0，1),

∴＞1.

∴a+＞0,即f′(x)＞0.

∴f(x)在（0，1］上是单调递增函数.

（3）解:当a＞-1时，f(x)在（0，1）上单调递增.f(x)_max=f(1)=-6a=-(不合题意，舍去).当a≤-1时，f′(x)=0，x=.

如下表,f_max(x)=f()=-6，解出a=-2.

x=∈(0，1).

x	（-∞，）		（，+∞）
F′(x)	+	0	-
F(x)		最大值

∴存在a=-2使f(x)在（0，1）上有最大值-6.