已知函数,.
(1)设函数,求函数的单调区间;
(2)是否存在实数,使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根?若存在,请求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
(Ⅱ) () .
解析试题分析:(I)因为,函数,.
所以=-lnx,其定义域为(0,+)。,
当a=0时,由f′(x)>0,得,,故f(x)在(,+∞)上单调递增,在(0,)单调递减;
当a>0时,由f′(x)>0,得,,故f(x)在(,+∞)上单调递增,在(0,)单调递减;
当a<0时,由f′(x)>0,得,,故f(x)在(,+∞)上单调递增,在(0,)单调递减。
(Ⅱ)把方程整理为,
即为方程. 5分
设 ,原方程在区间()内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数在区间()内有且只有两个零点. 6分
7分
令,因为,解得或(舍) 8分
当时, , 是减函数;当时, ,是增函数 10分
在()内有且只有两个不相等的零点, 只需
即 ∴
解得, 所以的取值范围是() .
考点:本题主要考查应用导数研究函数的单调性、最值及不等式恒成立问题,函数零点,不等式的解法。
点评:难题,本题属于导数应用中的基本问题,通过研究函数的单调性,明确了极值情况。(I)中要对a的不同取值情况加以讨论,在解不等式取舍过程中易于出错。涉及不等式恒成立问题,转化成了研究函数的最值,通过构建a的不等式组,求得a的范围。涉及对数函数,要特别注意函数的定义域。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设p:函数y=loga(x+1)(a>0且a≠1)在(0,+∞)上单调递减; q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.如果p∧q为假,p∨q为真,求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
将52名志愿者分成A,B两组参加义务植树活动,A组种植150捆白杨树苗,B组种植200捆沙棘树苗.假定A,B两组同时开始种植.
(1)根据历年统计,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时小时,种植一捆沙棘树苗用时小时.应如何分配A,B两组的人数,使植树活动持续时间最短?
(2)在按(1)分配的人数种植1小时后发现,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为小时,而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时小时,于是从A组抽调6名志愿者加入B组继续种植,求植树活动所持续的时间.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
一边长为的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为的小正方形,然后做成一个无盖方盒。
(1)试把方盒的容积表示为的函数;(2)多大时,方盒的容积最大?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
经市场调查:生产某产品需投入年固定成本为3万元,每生产万件,需另投入流动成本为万元,在年产量不足8万件时,(万元),在年产量不小于8万件时,(万元). 通过市场分析,每件产品售价为5元时,生产的商品能当年全部售完.
(1)写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式;
(注:年利润=年销售收入固定成本流动成本)
(2)年产量为多少万件时,在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件:①报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加;②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%;③报销的医疗费用不得超过8万元.
(1)请你分析该单位能否采用函数模型y=0.05(x2+4x+8)作为报销方案;
(2)若该单位决定采用函数模型y=x-2lnx+a(a为常数)作为报销方案,请你确定整数的值.(参考数据:ln2»0.69,ln10»2.3)
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)
某商品每件成本9元,售价为30元,每星期卖出432件,如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值(单位:元,)的平方成正比,已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件.(I)将一个星期的商品销售利润表示成的函数;(II)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?
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