Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lg（-x）|，x＜0}\\{{x}^{2}-6x+4，x≥0}\end{array}\right.$，若存在实数b，使得方程[f（x）]²-bf（x）+1=0有8个不同的根，则实数b的最大值是$\frac{17}{4}$．

Answer 1

分析 作出f（x）的图象，设k=f（x），将方程[f（x）]²-bf（x）+1=0有8个不同的根转化为 k² -bk+1=0的根的取值情况，结合一元二次方程根的分布进行求解即可．

解答 解：∵函数作出f（x）的简图，如图所示：
由图象可得当f（x）在（0，4]上任意取一个值时，都有四个不同的x与f（x）的值对应
再结合题中函数y=f²（x）-bf（x）+1 有8个不同的零点，
设k=f（x），则等价为关于k的方程 k² -bk+1=0有两个不同的实数根k₁、k₂，且0＜k₁≤4，0＜k₂≤4．
∴应有 $\left\{\begin{array}{l}{{△\;=b}^{2}-4＞0}\\{0＜\frac{b}{2}＜4}\\{0-b×0+1＞0}\\{16-4b+1≥0}\end{array}\right.$，解得 2＜b≤$\frac{17}{4}$，
故b的最大值为$\frac{17}{4}$，
故答案为：$\frac{17}{4}$

点评 本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．