Question

5．如图，在棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面为正三角形，侧棱长等于底面边长，且侧棱与底面所成的角为60°，顶点为B₁在底面ABC上的射影O恰好是AB的中点
（1）求证：B₁C⊥C₁A；
（2）求二面角C₁-AB-C的大小．

Answer 1

分析 （1）连结OC，由已知得B₁O⊥平面ABC，OC⊥AB，以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OB₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明B₁C⊥C₁A．
（2）分别求出平面ABC₁的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角C₁-AB-C的大小．

解答 （1）证明：连结OC，
∵在棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面为正三角形，侧棱长等于底面边长，且侧棱与底面所成的角为60°，
顶点为B₁在底面ABC上的射影O恰好是AB的中点，
∴B₁O⊥平面ABC，OC⊥AB，
以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OB₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长为2，则B₁（0，0，$\sqrt{3}$），C（$\sqrt{3}$，0，0），
C₁（$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{3}$），A（0，1，0），
∴$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（$\sqrt{3}，0，-\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{C}_{1}A}$=（-$\sqrt{3}$，0，-$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{{B}_{1}C}•\overrightarrow{{C}_{1}A}$=-3+0+3=0，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}C}⊥\overrightarrow{{C}_{1}A}$，∴B₁C⊥C₁A．
（2）解：A（1，0，0），B（-1，0，0），C₁（$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{BA}$=（2，0，0），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（$\sqrt{3}+1$，1，$\sqrt{3}$），
设平面ABC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=2x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=（\sqrt{3}+1）x+y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，-1），
由题意得平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
结合图形得二面角C₁-AB-C的平面角是锐角，∴二面角C₁-AB-C的大小为60°．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．