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(本小题满分14分)

如图,在六面体ABCDA1B1C1D1中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形,DD1⊥平面A1B1C1D1DD1⊥平面ABCDDD1=2.

(Ⅰ)求证:A1C1与AC共面,B1D1与BD共面;

(Ⅱ)求证:平面A1ACC1⊥平面B1BDD1

(Ⅲ)求二面角A-BB1-C的大小(用反三角函数值表示).

              

 

 

【答案】

(Ⅰ)A1C1与AC共面,B1D1与BD共面

(Ⅱ)平面A1ACC1⊥平面B1BDD1

(Ⅲ)二面角的大小为

【解析】解法1(向量法):

为原点,以所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系如图,

则有

 

(Ⅰ)证明:

平行,平行,

于是共面,共面.

(Ⅱ)证明:

是平面内的两条相交直线.

平面

又平面

平面平面

(Ⅲ)解:

为平面的法向量,

于是,取,则

为平面的法向量,

于是,取,则

二面角的大小为

解法2(综合法):

(Ⅰ)证明:平面平面

,平面平面

于是

分别为的中点,连结

于是

,得

共面.

过点平面于点

,连结

于是

所以点上,故共面.

(Ⅱ)证明:平面

(正方形的对角线互相垂直),

是平面内的两条相交直线,

平面

又平面平面平面

(Ⅲ)解:直线是直线在平面上的射影,

根据三垂线定理,有

过点在平面内作,连结

平面

于是

所以,是二面角的一个平面角.

根据勾股定理,有

,有

二面角的大小为

 

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