Question

经市场调查：生产某产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W（x）万元，在年产量不足8万件时，（万元），在年产量不小于8万件时，（万元）．通过市场分析，每件产品售价为5元时，生产的商品能当年全部售完．
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；
（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
（2）年产量为多少万件时，在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

解：（1）因为每件产品售价为5元，则x（万件）商品销售收入为5x万元，依题意得：
当0＜x＜8时，L（x）=5x-（ x²+x）-3=-x²+4x-3，
当x≥8时，L（x）=5x-（6x+-38）-3=35-（x+），
∴L（x）=．
（2）当0＜x＜8时，L（x）=-（x-6）²+9，此时，当x=6时，L（x）取得最大值9；
当x≥8时，L（x）=35-（x+）≤35-2 =15，
此时，当x=即x=10时，L（x）取得最大值15；
∵9＜15，
∴年产量为10万件时，这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元．
分析：（1）根据年利润=销售额-投入的总成本-固定成本，分0＜x＜8和当x≥8两种情况得到L与x的分段函数关系式；
（2）当0＜x＜8时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x≥8时，利用基本不等式来求L的最大值，最后综合即可．
点评：考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．