Question

【题目】如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别在三边AB，BC和CA上，且D为AB的中点，∠EDF=90°，∠BDE=θ（0°＜θ＜90°）．
（1）当tan∠DEF= 时，求θ的大小；
（2）求△DEF的面积S的最小值及使得S取最小值时θ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△BDE中，由正弦定理 = 得：DE= = ，

在△ADF中，由正弦定理 = 得：DF= = ，

∵tan∠DEF= ，

∴ = ，整理得：tanθ= ，

则θ=60°

（2）解：S= DEDF= = = = ，

当θ=45°时，S取最小值 =

【解析】（1）在△BDE中，BD=1，B=60°，∠BED=120°﹣θ，利用正弦定理表示出DE，在△ADF中，利用正弦定理表示出DF，根据tan∠DEF的值，列表关系式，整理求出tanθ的值，即可确定出θ的大小；（2）根据两直角边乘积的一半表示出三角形DEF面积S，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用同角三角间基本关系变形，由正弦函数的值域即可确定出S的最小值以及使得S取最小值时θ的值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解正弦定理的定义(正弦定理:)，还要掌握余弦定理的定义(余弦定理:;;)的相关知识才是答题的关键．