【题目】(本小题满分14分)
如图,四边形是正方形,△
与△
均是以
为直角顶点的等腰直角三角形,点
是
的中点,点
是边
上的任意一点.
(1)求证: ;
(2)求二面角的平面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】试题分析:第(1)小题设计为证明,只需证明
平面
;第(2)小题求二面角的大小,解决方法多样,既可以用综合法,也可以用向量法求解.
试题解析:(1)证明:∵是
的中点,且
,∴
.
∵ △与△
均是以
为直角顶点的等腰直角三角形,
∴,
.
∵,
平面
,
平面
,
∴平面
.
∵平面
, ∴
.
∵ 四边形是正方形∴
.
∵,
平面
,
平面
,
∴平面
.
∵平面
,∴
.
∵,
平面
,
平面
,
∴平面
.
∵平面
,∴
.
(2)解法1:作于
,连接
,
∵⊥平面
,
平面
∴
.
∵,
平面
,
平面
,
∴⊥平面
.
∵平面
,∴
.
∴∠为二面角
的平面角.
设正方形的边长为
,则
,
,
在Rt△中,在Rt△
中,
,
,
在Rt△中,
.
所以二面角的平面角的正弦值为
.
解法2:以为坐标原点,分别以
所在直线为
轴,
轴,
轴 ,
建立空间直角坐标系,设
,
则,
,
,
.
∴,
.
设平面的法向量为
,由
得
令,得
,∴
为平面
的一个法向量.
∵平面
,
平面
,∴ 平面
平面
.
连接,则
.
∵ 平面平面
,
平面
,
∴平面
.
∴ 平面的一个法向量为
.
设二面角的平面角为
,
则.
∴.
∴ 二面角的平面角的正弦值为
.
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【题目】甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设甲、乙、丙面试合格的概率分别是,
,
,且面试是否合格互不影响.求:
(1)至少有1人面试合格的概率;
(2)签约人数的分布列和数学期望.
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【题目】如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论中:①PB⊥AE;②平面ABC⊥平面PBC;③直线BC∥平面PAE;④∠PDA=45°.
其中正确的有____________(把所有正确的序号都填上).
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【题目】如图,E,F是AD上互异的两点,G,H是BC上互异的两点,由图可知,①AB与CD互为异面直线;②FH分别与DC,DB互为异面直线;③EG与FH互为异面直线;④EG与AB互为异面直线.其中叙述正确的是 ( )
A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ①②
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【题目】下列命题中错误的是( )
A. 如果平面外的直线
不平行于平面
,则平面
内不存在与
平行的直线
B. 如果平面平面
,平面
平面
,
,那么直线
平面
C. 如果平面平面
,那么平面
内所有直线都垂直于平面
D. 一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另一个平面相交
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【题目】如图,三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD .
(1)求证:CD⊥平面ABD;
(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.
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