Question

如图，AA₁、BB₁为圆柱OO₁的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA₁、CB₁的中点，DE⊥面CBB₁．
（1）证明：DE∥面ABC；
（2）求四棱锥C-ABB₁A₁与圆柱OO₁的体积比；
（3）若BB₁=BC，求CA₁与面BB₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先证明四边形AOED是平行四边形，即可得到 DE∥OA，从而证得DE∥面ABC．
（2）由CA⊥AB，且AA₁⊥CA，可得CA⊥面AA₁B₁B，即CA为四棱锥的高，设圆柱高为h，底半径为r，则V_柱=πr²h，求出椎体的体积，即可得到四棱锥C-ABB₁A₁与圆柱OO₁的体积比．
（3）先证 A₁O₁⊥面CBB₁C₁，则∠A₁CO₁为CA₁与面BB₁C所成的角，在Rt△A₁O₁C中，由sin∠A1CO1=

A1O1

A1C

求得CA₁与面BB₁C所成角的正弦值．

解答：解：（1）证明：连接EO，OA．∵E，O分别为B₁C，BC的中点，∴EO∥BB₁．
又DA∥BB₁，且DA=EO=

1

2

BB1．∴四边形AOED是平行四边形，
即DE∥OA，DE?面ABC．∴DE∥面ABC．
（2）由题DE⊥面CBB₁，且由（1）知DE∥OA．∴AO⊥面CBB₁，∴AO⊥BC，
∴AC=AB．因BC是底面圆O的直径，得CA⊥AB，且AA₁⊥CA，
∴CA⊥面AA₁B₁B，即CA为四棱锥的高．
设圆柱高为h，底半径为r，则V_柱=πr²h，V锥=

1

3

h(

2

r)•(

2

r)=

2

3

hr2，
∴V_锥：V_柱 =

2

3π

．
（3）解：作过C的母线CC₁，连接B₁C₁，则B₁C₁是上底面圆O₁的直径，
连接A₁O₁，得A₁O₁∥AO，又AO⊥面CBB₁C₁，
∴A₁O₁⊥面CBB₁C₁，连接CO₁，
则∠A₁CO₁为CA₁与面BB₁C所成的角，
设BB₁=BC=2，则A1C=

22+( 2 )2

=

6

，
A₁O₁=1．（12分）
在Rt△A₁O₁C中，sin∠A1CO1=

A1O1

A1C

=

6

6

．

点评：本题考查证明线面平行的方法，求棱锥的体积和直线与平面成的角，找出∠A₁CO₁为CA₁与面BB₁C所成的角，是解题的难点．