Question

2．已知正整数列{a_n}单调递增，即a_i＜a_i+1（i∈N^*），a₁=1，且n∈N^*时，a_n+1≤2n，证明：对每个n∈N^*，在数列中总有两个项a_p和a_q使得a_p-a_q=n．

Answer 1

分析 设数列{a_n}共有n+1项，a_p和a_q为其中两项，设q＞p，则a_q＞a_p．由题意可得：p≤a_p≤3n-p+1，q≤a_q≤3n-q+1，于是0＜a_q-a_p≤3n-（p+q）+1，即可证明．

解答 证明：：设数列{a_n}共有n+1项，a_p和a_q为其中两项，设q＞p，则a_q＞a_p．
由题意可得：p≤a_p≤3n-p+1，q≤a_q≤3n-q+1，
∴0＜a_q-a_p≤3n-（p+q）+1，
∵p，q∈[1，n+1]，
故总能找到p+q≤2n+1，使得a_q-a_p=n成立．

点评 本题考查了数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．