Question

已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）满足：（1）当0＜x≤10时销售收入与生产服装的平方成一次关系，x=3千件时销售收入为10.5万元；x=9千件时销售收入为8.1万元．（2）当x＞10时销售收入与生产服装的关系式为R(x)=

108

x

-

1000

3x2

．
（1）写出年利润W（万元）关于年出品x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该公式在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？

Answer 1

分析：（1）先根据当0＜x≤10时销售收入与生产服装的平方成一次关系，x=3千件时销售收入为10.5万元；x=9千件时销售收入为8.1万元，求出当0＜x≤10时销售收入与生产服装的关系，再由年利润W=年产量x×每千件的销售收入为R（x）-成本．我们易得年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）由（1）的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果．

解答：解：（1）∵当0＜x≤10时销售收入与生产服装的平方成一次关系
∴可设R（x）=kx²+b
∵x=3千件时销售收入为10.5万元；x=9千件时销售收入为8.1万元
∴

10.5=9k+b 8.1=81k+b

∴b=10.8，k=-

1

30

∴当0＜x≤10时，销售收入与生产服装的关系式为R(x)=-

1

30

x2+10.8
∴0＜x≤10时，W=xR（x）-（10+2.7x）=8.1x-

x3

30

-10；
当x＞10时，W=xR（x）-（10+2.7x）=98-

1000

3x

-2.7x．
∴W=

8.1x- x3 30 -10 ，(0＜x≤10) 98- 1000 3x -2.7x ，(x＞10)

（2）①当0＜x＜10时，由W'=8.1-

x2

10

=0，得x=9，
且当x∈（0，9）时，W'＞0；当x∈（9，10）时，W'＜0，
∴当x=9时，W取最大值，且Wmax=8.1×9-

1

30

×93-10=38.6
②当x＞10时，W=98-(

1000

3x

+2.7x)≤98-2

1000 3x •2.7x

=38
当且仅当

1000

3x

=2.7x，
即x=

100

9

时，W=38，
故当x=

100

9

时，W取最大值38．
综合①②知当x=9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．

点评：本题考查的知识点是分段函数及函数的最值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．