Question

已知、分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点任意作直线（与轴不垂直），设与（1）中轨迹交于两点，与轴交于点．若，，证明：为定值．

Answer 1

（1）．   （2）．       

（1）本小题属于相关点法求轨迹方程，设，然后再设出相关动点，,根据P是线段AB的中点，以及,可以消去，得到x,y的普通方程.
(2)设出直线的方程为,再设、、，然后直线方程与椭圆C的方程联立，根据，可找到,,同理,则,然后再利用韦达定理证明
（1）设，，
∵是线段的中点，∴                        ………2分
∵分别是直线和上的点，∴和．
∴                              …………4分
又，∴．                 …………5分
∴，∴动点的轨迹的方程为．     …………8分
（2）依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为．
设、、，
则两点坐标满足方程组
消去并整理，得，         …………10分
∴， ①   ．   ②           ………12分
∵，∴．
即∴．∵与轴不垂直，∴，
∴，同理．                          ………14分
∴．
将①②代入上式可得