Question

据气象台预报，距S岛300km的正东方向的A处有一台风中心形成，并以每小时30km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270km以内的地区将受到台风的影响．问：
（1）S岛是否受其影响？
（2）若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．

Answer 1

分析：设台风中心经过t小时到达B点，根据题意求得∠SAB，在△SAB中利用余弦定理得关于t的关系式，若S岛受到台风影响，则应满足条件
|SB|≤27O，?化简整理可解得t的范围，进而得到答案．

解答：解：设台风中心经过t小时到达B点，?
由题意，∠SAB=9O°-3O°=6O°?
在△SAB中，SA=3OO，AB=3Ot，∠SAB=6O°，?
由余弦定理得：SB²=SA²+AB²-2SA•AB•COS∠SAB=300²+（30t）²-2•300•30t•cos60°
若S岛受到台风影响，则应满足条件?
|SB|≤27O即SB²≤27O²?
化简整理得t²-1Ot+19≤O?
解之得5-

6

≤t≤5+

6

所以从现在起，经过5-

6

小时S岛开始受到影响，5+

6

小时后影响结束，持续时间：(5+

6

)-(5-

6

)=2

6

小时．?
答：S岛受到台风影响，从现在起，经过（5-

6

）小时，台风开始影响S岛，且持续时间为2

6

小时

点评：本题主要考查余弦定理在实际中的应用．由于余弦定理是一个二次幂的关系式，故可利用二次不等式的性质，来解决一些问题．