Question

8．已知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1，n∈N^*，且a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{2n-1}{{2}^{{a}_{n}}}$（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为T_n，写出T_n关于n表达式，并求满足T_n＞$\frac{5}{2}$时n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1，n∈N^*，且a₁=1．
∴当n=1时，a₁=$\frac{1}{2}{a}_{1}{a}_{2}$，解得a₂=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$a_na_n+1-$\frac{1}{2}{a}_{n-1}{a}_{n}$=$\frac{1}{2}{a}_{n}（{a}_{n+1}-{a}_{n-1}）$．
化为a_n（a_n+1-a_n-1-2）=0，
a_n≠0，可得a_n+1-a_n-1=2．
∴数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为2，首项分别为1，2．
∴a_n+1-a_n+（a_n-a_n-1）=2，
∴a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是等差数列，公差为1，首项为1．
a_n=1+（n-1）=n．
（2）b_n=$\frac{2n-1}{{2}^{{a}_{n}}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$（n∈N^*），
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+2×（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{{2}^{n+1}}$，
∴${T}_{n}=3-\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．
不等式T_n＞$\frac{5}{2}$，
即$\frac{1}{2}＞\frac{2n+3}{{2}^{n}}$，
由于$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$-$\frac{2（n+1）+3}{{2}^{n+1}}$=$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$＞0，
∴数列$\{\frac{2n+3}{{2}^{n}}\}$为单调递减数列，
当n=4时，$\frac{11}{16}$$＞\frac{1}{2}$；当n=5时，$\frac{13}{32}$$＜\frac{1}{2}$．
∴满足T_n＞$\frac{5}{2}$时n的取值范围是n≥5．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．