Question

设a为实数，函数f（x）=2x²+（x-a）|x-a|
（1）求f（a+1）；
（2）若a=3，用分段函数的形式表示f（x），并求出f（x）的最小值；
（3）求f（x）的最小值g（a）．

Answer 1

分析：（1）直接代入计算即可；
（2）由a=3，可得f（x）=2x²+（x-3）|x-3|=

3x2-6x+9，x≥3 x2+6x-9，x＜3

，利用二次函数的单调性即可得出；
（3）f（x）=

3x2-2ax+a2，x≥a x2+2ax-a2，x＜a

．分类讨论：当a＞0时，x≥a时，f（x）=3(x-

a

3

)2+

2a2

3

；x＜a时，f（x）=（x+a）²-2a²．利用二次函数的单调性即可得出．
当a＜0时，x≥a时，f（x）=3(x-

a

3

)2+

2a2

3

；x＜a时，f（x）=（x+a）²-2a²≥f（a）=2a²．利用二次函数的单调性即可得出．当a=0时，f（x）=3x²≥0．

解答：解：（1）f（a+1）=2（a+1）²+（a+1-a）|a+1-a|=2（a+1）²+1；
（2）若a=3，则f（x）=2x²+（x-3）|x-3|=

3x2-6x+9，x≥3 x2+6x-9，x＜3

，
①当x≥3时，f（x）=3（x-1）²+6，函数f（x）在[3，+∞）上单调递增，
∴x=3时，f（x）取得最小值，f（3）=18．
②当x＜3时，f（x）=（x+3）²-18，当x=-3时，f（x）取得最小值，f（-3）=-18．
（3）f（x）=

3x2-2ax+a2，x≥a x2+2ax-a2，x＜a

．
①当a＞0时，x≥a时，f（x）=3(x-

a

3

)2+

2a2

3

≥f（a）=2a²；
x＜a时，f（x）=（x+a）²-2a²≥f（-a）=-2a²．
综上可得：a＞0时，f（x）_min=-2a²．
②当a＜0时，x≥a时，f（x）=3(x-

a

3

)2+

2a2

3

≥f（

a

3

）=

2a2

3

；
x＜a时，f（x）=（x+a）²-2a²≥f（a）=2a²．
综上可得：a＜0时，f（x）_min=

2a2

3

．
③当a=0时，f（x）=3x²≥0，此时最小值为0．
综上可得：当a≥0时，f（x）_min=-2a²；
        当a＜0时，f（x）_min=

2a2

3

．

点评：本题考查了含绝对值的函数的最小值、二次函数的单调性、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．